(2x+1)^2=(x-5)^2 Denklemini Çözme

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

x için çözün

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

4x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

4x ve 10x terimlerini birleştirerek 14x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Her iki taraftan 25 sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

1 sayısından 25 sayısını çıkarıp -24 sonucunu bulun.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-24 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -72 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Çözüm, 14 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=18$$

3x^{2}+14x-24 ifadesini \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-4=0 ve x+6=0 çözün.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

4x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

4x ve 10x terimlerini birleştirerek 14x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Her iki taraftan 25 sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

1 sayısından 25 sayısını çıkarıp -24 sonucunu bulun.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 14 ve c yerine -24 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

14 sayısının karesi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

288 ile 196 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

484 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-14±22}{6} denklemini çözün. 22 ile -14 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-14±22}{6} denklemini çözün. 22 sayısını -14 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{36}{6}$$

-36 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-6$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

4x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

4x ve 10x terimlerini birleştirerek 14x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

25 sayısından 1 sayısını çıkarıp 24 sonucunu bulun.

$$3x^{2}+14x=24$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

24 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

x teriminin katsayısı olan \frac{14}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

\frac{7}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

\frac{49}{9} ile 8 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{3} çıkarın.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$