sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2 Denklemini Çözme

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

x için çözün

$$x=5$$

$$x=1$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafından -\sqrt{x-1} çıkarın.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{3x+1} kuvvetini hesaplayarak 3x+1 sonucunu bulun.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{x-1} kuvvetini hesaplayarak x-1 sonucunu bulun.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

4 sayısından 1 sayısını çıkarıp 3 sonucunu bulun.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

Denklemin her iki tarafından 3+x çıkarın.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

3+x tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

1 sayısından 3 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

3x ve -x terimlerini birleştirerek 2x sonucunu elde edin.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(2x-2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2} üssünü genişlet.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının 4 kuvvetini hesaplayarak 16 sonucunu bulun.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{x-1} kuvvetini hesaplayarak x-1 sonucunu bulun.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

16 sayısını x-1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Her iki taraftan 16x sayısını çıkarın.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

-8x ve -16x terimlerini birleştirerek -24x sonucunu elde edin.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Her iki tarafa 16 ekleyin.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

4 ve 16 sayılarını toplayarak 20 sonucunu bulun.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Bu tür bir çift sistem çözümüdür.

$$a=-5 b=-1$$

x^{2}-6x+5 ifadesini \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve x-1=0 çözün.

$$x=5 x=1$$

\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2 denkleminde x yerine 5 ifadesini koyun.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

Sadeleştirin. x=5 değeri denklemi karşılıyor.

$$2=2$$

\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2 denkleminde x yerine 1 ifadesini koyun.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

Sadeleştirin. x=1 değeri denklemi karşılıyor.

$$2=2$$

Tüm \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2 çözümlerini listeleyin.

$$x=5 x=1$$