1/x-3+18/x^2-9=x/x+3 Denklemini Çözme

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

x için çözün

$$x=7$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -3,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-3,x^{2}-9,x+3 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-3\right)\left(x+3\right) ile çarpın.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

3 ve 18 sayılarını toplayarak 21 sonucunu bulun.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

x-3 sayısını x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Her iki tarafa 3x ekleyin.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

x ve 3x terimlerini birleştirerek 4x sonucunu elde edin.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx+21 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -21 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,21 -3,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Çözüm, 4 toplamını veren çifttir.

$$a=7 b=-3$$

-x^{2}+4x+21 ifadesini \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve -x-3=0 çözün.

$$x=7 x=-3$$

x değişkeni -3 değerine eşit olamaz.

$$x=7$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -3,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-3,x^{2}-9,x+3 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-3\right)\left(x+3\right) ile çarpın.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

3 ve 18 sayılarını toplayarak 21 sonucunu bulun.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

x-3 sayısını x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Her iki tarafa 3x ekleyin.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

x ve 3x terimlerini birleştirerek 4x sonucunu elde edin.

$$4x+21-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 4 ve c yerine 21 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 21 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

84 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

100 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±10}{-2} denklemini çözün. 10 ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{-2}$$

6 sayısını -2 ile bölün.

$$x=-3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±10}{-2} denklemini çözün. 10 sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

-14 sayısını -2 ile bölün.

$$x=7$$

Denklem çözüldü.

$$x=-3 x=7$$

x değişkeni -3 değerine eşit olamaz.

$$x=7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -3,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-3,x^{2}-9,x+3 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-3\right)\left(x+3\right) ile çarpın.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

3 ve 18 sayılarını toplayarak 21 sonucunu bulun.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

x-3 sayısını x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Her iki tarafa 3x ekleyin.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

x ve 3x terimlerini birleştirerek 4x sonucunu elde edin.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Her iki taraftan 21 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$4x-x^{2}=-21$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

4 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

-21 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-4x=21$$

x teriminin katsayısı olan -4 sayısını 2 değerine bölerek -2 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -2 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

-2 sayısının karesi.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

4 ile 21 sayısını toplayın.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Faktör x^{2}-4x+4. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Sadeleştirin.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Denklemin her iki tarafına 2 ekleyin.

$$x=7 x=-3$$

x değişkeni -3 değerine eşit olamaz.

$$x=7$$