5/x-3-x-1/x-2=7 Denklemini Çözme

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, 2,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-3,x-2 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-3\right)\left(x-2\right) ile çarpın.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-2 sayısını 5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-3 ile x-1 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x^{2}-4x+3 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

5x ve 4x terimlerini birleştirerek 9x sonucunu elde edin.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-10 sayısından 3 sayısını çıkarıp -13 sonucunu bulun.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

7 sayısını x-3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

7x-21 ile x-2 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Her iki taraftan 7x^{2} sayısını çıkarın.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

-x^{2} ve -7x^{2} terimlerini birleştirerek -8x^{2} sonucunu elde edin.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Her iki tarafa 35x ekleyin.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

9x ve 35x terimlerini birleştirerek 44x sonucunu elde edin.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Her iki taraftan 42 sayısını çıkarın.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

-13 sayısından 42 sayısını çıkarıp -55 sonucunu bulun.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -8, b yerine 44 ve c yerine -55 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

44 sayısının karesi.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

-4 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

32 ile -55 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

-1760 ile 1936 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

176 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

2 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} denklemini çözün. 4\sqrt{11} ile -44 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44+4\sqrt{11} sayısını -16 ile bölün.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} denklemini çözün. 4\sqrt{11} sayısını -44 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44-4\sqrt{11} sayısını -16 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, 2,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-3,x-2 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-3\right)\left(x-2\right) ile çarpın.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-2 sayısını 5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-3 ile x-1 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x^{2}-4x+3 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

5x ve 4x terimlerini birleştirerek 9x sonucunu elde edin.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-10 sayısından 3 sayısını çıkarıp -13 sonucunu bulun.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

7 sayısını x-3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

7x-21 ile x-2 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Her iki taraftan 7x^{2} sayısını çıkarın.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

-x^{2} ve -7x^{2} terimlerini birleştirerek -8x^{2} sonucunu elde edin.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Her iki tarafa 35x ekleyin.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

9x ve 35x terimlerini birleştirerek 44x sonucunu elde edin.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Her iki tarafa 13 ekleyin.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

42 ve 13 sayılarını toplayarak 55 sonucunu bulun.

$$44x-8x^{2}=55$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Her iki tarafı -8 ile bölün.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

-8 ile bölme, -8 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{44}{-8} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

55 sayısını -8 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{11}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

-\frac{11}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{55}{8} ile \frac{121}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{4} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$