2/x+15/x+6=1 Denklemini Çözme

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x=12$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -6,0 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x,x+6 sayılarının en küçük ortak katı olan x\left(x+6\right) ile çarpın.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

x+6 sayısını 2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2x ve x\times 15 terimlerini birleştirerek 17x sonucunu elde edin.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x sayısını x+6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Her iki taraftan 6x sayısını çıkarın.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

17x ve -6x terimlerini birleştirerek 11x sonucunu elde edin.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx+12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=12 b=-1$$

-x^{2}+11x+12 ifadesini \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-12 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-12=0 ve -x-1=0 çözün.

$$x=12 x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -6,0 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x,x+6 sayılarının en küçük ortak katı olan x\left(x+6\right) ile çarpın.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

x+6 sayısını 2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2x ve x\times 15 terimlerini birleştirerek 17x sonucunu elde edin.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x sayısını x+6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Her iki taraftan 6x sayısını çıkarın.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

17x ve -6x terimlerini birleştirerek 11x sonucunu elde edin.

$$11x+12-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 11 ve c yerine 12 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

48 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±13}{-2} denklemini çözün. 13 ile -11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 sayısını -2 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±13}{-2} denklemini çözün. 13 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-24 sayısını -2 ile bölün.

$$x=12$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=12$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -6,0 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x,x+6 sayılarının en küçük ortak katı olan x\left(x+6\right) ile çarpın.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

x+6 sayısını 2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2x ve x\times 15 terimlerini birleştirerek 17x sonucunu elde edin.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x sayısını x+6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Her iki taraftan 6x sayısını çıkarın.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

17x ve -6x terimlerini birleştirerek 11x sonucunu elde edin.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Her iki taraftan 12 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$11x-x^{2}=-12$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

11 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

-12 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-11x=12$$

x teriminin katsayısı olan -11 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} ile 12 sayısını toplayın.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktör x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{2} ekleyin.

$$x=12 x=-1$$