แก้โจทย์ y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

หาค่า y

$$y=6$$

$$y=36$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย y^{2}-42y+216 โดยใช้สูตร y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-42 ab=216$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 216

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -42

$$a=-36 b=-6$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(y+a\right)\left(y+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข y-36=0 และ y-6=0

$$y=36 y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น y^{2}+ay+by+216 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 216

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -42

$$a=-36 b=-6$$

เขียน y^{2}-42y+216 ใหม่เป็น \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

แยกตัวประกอบ y ในกลุ่มแรกและ -6 ใน

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม y-36 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข y-36=0 และ y-6=0

$$y=36 y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$y^{2}-42y+216=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -42 แทน b และ 216 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

ยกกำลังสอง -42

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 216

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

เพิ่ม 1764 ไปยัง -864

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

หารากที่สองของ 900

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

ตรงข้ามกับ -42 คือ 42

$$y=\frac{42±30}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{42±30}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 42 ไปยัง 30

$$y=\frac{72}{2}$$

หาร 72 ด้วย 2

$$y=36$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{42±30}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 30 จาก 42

$$y=\frac{12}{2}$$

หาร 12 ด้วย 2

$$y=6$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$y=36 y=6$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$y^{2}-42y+216=0$$

ลบ 216 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

ลบ 216 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$y^{2}-42y=-216$$

หาร -42 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -21 จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -21

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

เพิ่ม -216 ไปยัง 441

$$y^{2}-42y+441=225$$

ตัวประกอบy^{2}-42y+441 โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$y-21=15 y-21=-15$$

เพิ่ม 21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=36 y=6$$