แก้โจทย์ x^2-5x-4<0

$$x ^ { 2 } - 5 x - 4 < 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(\frac{5-\sqrt{41}}{2},\frac{\sqrt{41}+5}{2}\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$x^{2}-5x-4=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -5 สำหรับ b และ -4 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2}$$

แก้สมการ x=\frac{5±\sqrt{41}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$\left(x-\frac{\sqrt{41}+5}{2}\right)\left(x-\frac{5-\sqrt{41}}{2}\right)<0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าลบ x-\frac{\sqrt{41}+5}{2} และ x-\frac{5-\sqrt{41}}{2} ต้องเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{\sqrt{41}+5}{2} เป็นค่าบวก และ x-\frac{5-\sqrt{41}}{2} เป็นค่าลบ

$$x-\frac{\sqrt{41}+5}{2}>0 x-\frac{5-\sqrt{41}}{2}<0$$

เป็นเท็จสำหรับ x ใดๆ

$$x\in \emptyset$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{5-\sqrt{41}}{2} เป็นค่าบวก และ x-\frac{\sqrt{41}+5}{2} เป็นค่าลบ

$$x-\frac{5-\sqrt{41}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{41}+5}{2}<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x\in \left(\frac{5-\sqrt{41}}{2},\frac{\sqrt{41}+5}{2}\right)

$$x\in \left(\frac{5-\sqrt{41}}{2},\frac{\sqrt{41}+5}{2}\right)$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x\in \left(\frac{5-\sqrt{41}}{2},\frac{\sqrt{41}+5}{2}\right)$$