แก้โจทย์ x^2-4x-9geq0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 9 \geq 0$$

หาค่า x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{13}]\cup [\sqrt{13}+2,\infty)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$x^{2}-4x-9=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -4 สำหรับ b และ -9 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{4±2\sqrt{13}}{2}$$

แก้สมการ x=\frac{4±2\sqrt{13}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\sqrt{13}+2 x=2-\sqrt{13}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$\left(x-\left(\sqrt{13}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{13}\right)\right)\geq 0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็น ≥0 x-\left(\sqrt{13}+2\right) และ x-\left(2-\sqrt{13}\right) มีเป็น ≤0 ทั้งคู่ หรือ ≥0 ทั้งคู่ พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(\sqrt{13}+2\right) และ x-\left(2-\sqrt{13}\right) เป็น ≤0 ทั้งคู่

$$x-\left(\sqrt{13}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{13}\right)\leq 0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x\leq 2-\sqrt{13}

$$x\leq 2-\sqrt{13}$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(\sqrt{13}+2\right) และ x-\left(2-\sqrt{13}\right) เป็น ≥0 ทั้งคู่

$$x-\left(2-\sqrt{13}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{13}+2\right)\geq 0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x\geq \sqrt{13}+2

$$x\geq \sqrt{13}+2$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x\leq 2-\sqrt{13}\text{; }x\geq \sqrt{13}+2$$