แก้โจทย์ x^2-11x+24=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 24 = 0$$

หาค่า x

$$x=3$$

$$x=8$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย x^{2}-11x+24 โดยใช้สูตร x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-11 ab=24$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 24

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -11

$$a=-8 b=-3$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(x+a\right)\left(x+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-8=0 และ x-3=0

$$x=8 x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น x^{2}+ax+bx+24 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-11 ab=1\times 24=24$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 24

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -11

$$a=-8 b=-3$$

เขียน x^{2}-11x+24 ใหม่เป็น \left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right)

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ -3 ใน

$$x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-8 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-8=0 และ x-3=0

$$x=8 x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}-11x+24=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -11 แทน b และ 24 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

ยกกำลังสอง -11

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 24

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง -96

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2}$$

หารากที่สองของ 25

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2}$$

ตรงข้ามกับ -11 คือ 11

$$x=\frac{11±5}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{11±5}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 11 ไปยัง 5

$$x=\frac{16}{2}$$

หาร 16 ด้วย 2

$$x=8$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{11±5}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 5 จาก 11

$$x=\frac{6}{2}$$

หาร 6 ด้วย 2

$$x=3$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=8 x=3$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}-11x+24=0$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}-11x+24-24=-24$$

ลบ 24 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}-11x=-24$$

หาร -11 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{11}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{11}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{11}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

เพิ่ม -24 ไปยัง \frac{121}{4}

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-11x+\frac{121}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

เพิ่ม \frac{11}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=8 x=3$$