แก้โจทย์ x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

หาค่า x

$$x=-40$$

$$x=9$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย x^{2}+31x-360 โดยใช้สูตร x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=31 ab=-360$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -360

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 31

$$a=-9 b=40$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(x+a\right)\left(x+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-9=0 และ x+40=0

$$x=9 x=-40$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น x^{2}+ax+bx-360 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -360

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 31

$$a=-9 b=40$$

เขียน x^{2}+31x-360 ใหม่เป็น \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 40 ใน

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-9 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-9=0 และ x+40=0

$$x=9 x=-40$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}+31x-360=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, 31 แทน b และ -360 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

ยกกำลังสอง 31

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -360

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

เพิ่ม 961 ไปยัง 1440

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

หารากที่สองของ 2401

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-31±49}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -31 ไปยัง 49

$$x=\frac{18}{2}$$

หาร 18 ด้วย 2

$$x=9$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-31±49}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 49 จาก -31

$$x=-\frac{80}{2}$$

หาร -80 ด้วย 2

$$x=-40$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=9 x=-40$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}+31x-360=0$$

เพิ่ม 360 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

ลบ -360 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

ลบ -360 จาก 0

$$x^{2}+31x=360$$

หาร 31 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{31}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{31}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{31}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

เพิ่ม 360 ไปยัง \frac{961}{4}

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+31x+\frac{961}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

ลบ \frac{31}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=9 x=-40$$