แก้โจทย์ x^2+(-4/7x+4)^2=9

$$x ^ { 2 } + ( - \frac { 4 } { 7 } x + 4 ) ^ { 2 } = 9$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{112+7\sqrt{199}i}{65}\approx 1.723076923+1.519186952i$$

$$x=\frac{-7\sqrt{199}i+112}{65}\approx 1.723076923-1.519186952i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(-\frac{4}{7}x+4\right)^{2}

$$x^{2}+\frac{16}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x+16=9$$

รวม x^{2} และ \frac{16}{49}x^{2} เพื่อให้ได้รับ \frac{65}{49}x^{2}

$$\frac{65}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x+16=9$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน

$$\frac{65}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x+16-9=0$$

ลบ 9 จาก 16 เพื่อรับ 7

$$\frac{65}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x+7=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ \frac{65}{49} แทน a, -\frac{32}{7} แทน b และ 7 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-\frac{32}{7}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{7}\right)^{2}-4\times \frac{65}{49}\times 7}}{2\times \frac{65}{49}}$$

ยกกำลังสอง -\frac{32}{7} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x=\frac{-\left(-\frac{32}{7}\right)±\sqrt{\frac{1024}{49}-4\times \frac{65}{49}\times 7}}{2\times \frac{65}{49}}$$

คูณ -4 ด้วย \frac{65}{49}

$$x=\frac{-\left(-\frac{32}{7}\right)±\sqrt{\frac{1024}{49}-\frac{260}{49}\times 7}}{2\times \frac{65}{49}}$$

คูณ -\frac{260}{49} ด้วย 7

$$x=\frac{-\left(-\frac{32}{7}\right)±\sqrt{\frac{1024}{49}-\frac{260}{7}}}{2\times \frac{65}{49}}$$

เพิ่ม \frac{1024}{49} ไปยัง -\frac{260}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{-\left(-\frac{32}{7}\right)±\sqrt{-\frac{796}{49}}}{2\times \frac{65}{49}}$$

หารากที่สองของ -\frac{796}{49}

$$x=\frac{-\left(-\frac{32}{7}\right)±\frac{2\sqrt{199}i}{7}}{2\times \frac{65}{49}}$$

ตรงข้ามกับ -\frac{32}{7} คือ \frac{32}{7}

$$x=\frac{\frac{32}{7}±\frac{2\sqrt{199}i}{7}}{2\times \frac{65}{49}}$$

คูณ 2 ด้วย \frac{65}{49}

$$x=\frac{\frac{32}{7}±\frac{2\sqrt{199}i}{7}}{\frac{130}{49}}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{\frac{32}{7}±\frac{2\sqrt{199}i}{7}}{\frac{130}{49}} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม \frac{32}{7} ไปยัง \frac{2i\sqrt{199}}{7}

$$x=\frac{32+2\sqrt{199}i}{\frac{130}{49}\times 7}$$

หาร \frac{32+2i\sqrt{199}}{7} ด้วย \frac{130}{49} โดยคูณ \frac{32+2i\sqrt{199}}{7} ด้วยส่วนกลับของ \frac{130}{49}

$$x=\frac{112+7\sqrt{199}i}{65}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{\frac{32}{7}±\frac{2\sqrt{199}i}{7}}{\frac{130}{49}} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \frac{2i\sqrt{199}}{7} จาก \frac{32}{7}

$$x=\frac{-2\sqrt{199}i+32}{\frac{130}{49}\times 7}$$

หาร \frac{32-2i\sqrt{199}}{7} ด้วย \frac{130}{49} โดยคูณ \frac{32-2i\sqrt{199}}{7} ด้วยส่วนกลับของ \frac{130}{49}

$$x=\frac{-7\sqrt{199}i+112}{65}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{112+7\sqrt{199}i}{65} x=\frac{-7\sqrt{199}i+112}{65}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(-\frac{4}{7}x+4\right)^{2}

$$x^{2}+\frac{16}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x+16=9$$

รวม x^{2} และ \frac{16}{49}x^{2} เพื่อให้ได้รับ \frac{65}{49}x^{2}

$$\frac{65}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x+16=9$$

ลบ 16 จากทั้งสองด้าน

$$\frac{65}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x=9-16$$

ลบ 16 จาก 9 เพื่อรับ -7

$$\frac{65}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x=-7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{65}{49} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$\frac{\frac{65}{49}x^{2}-\frac{32}{7}x}{\frac{65}{49}}=-\frac{7}{\frac{65}{49}}$$

หารด้วย \frac{65}{49} เลิกทำการคูณด้วย \frac{65}{49}

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{32}{7}}{\frac{65}{49}}\right)x=-\frac{7}{\frac{65}{49}}$$

หาร -\frac{32}{7} ด้วย \frac{65}{49} โดยคูณ -\frac{32}{7} ด้วยส่วนกลับของ \frac{65}{49}

$$x^{2}-\frac{224}{65}x=-\frac{7}{\frac{65}{49}}$$

หาร -7 ด้วย \frac{65}{49} โดยคูณ -7 ด้วยส่วนกลับของ \frac{65}{49}

$$x^{2}-\frac{224}{65}x=-\frac{343}{65}$$

หาร -\frac{224}{65} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{112}{65} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{112}{65} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{224}{65}x+\left(-\frac{112}{65}\right)^{2}=-\frac{343}{65}+\left(-\frac{112}{65}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{112}{65} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{224}{65}x+\frac{12544}{4225}=-\frac{343}{65}+\frac{12544}{4225}$$

เพิ่ม -\frac{343}{65} ไปยัง \frac{12544}{4225} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{224}{65}x+\frac{12544}{4225}=-\frac{9751}{4225}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{224}{65}x+\frac{12544}{4225} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{112}{65}\right)^{2}=-\frac{9751}{4225}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{112}{65}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9751}{4225}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{112}{65}=\frac{7\sqrt{199}i}{65} x-\frac{112}{65}=-\frac{7\sqrt{199}i}{65}$$

เพิ่ม \frac{112}{65} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{112+7\sqrt{199}i}{65} x=\frac{-7\sqrt{199}i+112}{65}$$