แก้โจทย์ k^2-k-4>0

$$k ^ { 2 } - k - 4 > 0$$

หาค่า k

$$k\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{17}+1}{2},\infty\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$k^{2}-k-4=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -1 สำหรับ b และ -4 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$k=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$$

แก้สมการ k=\frac{1±\sqrt{17}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$k=\frac{\sqrt{17}+1}{2} k=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$\left(k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}\right)\left(k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)>0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าบวก k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} และ k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} ต้องเป็นค่าลบทั้งคู่ หรือค่าบวกทั้งคู่ พิจารณากรณีเมื่อ k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} และ k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} เป็นค่าลบทั้งคู่

$$k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}<0 k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

พิจารณากรณีเมื่อ k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} และ k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} เป็นค่าบวกทั้งคู่

$$k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}>0 k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}>0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}

$$k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\text{; }k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$