แก้โจทย์ a+bsqrt{3}=frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}

$$a + b \sqrt { 3 } = \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

หาค่า b

$$b=-\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{3}-1

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

พิจารณา \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{3} ยกกำลังสอง 1

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

ลบ 1 จาก 3 เพื่อรับ 2

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

คูณ \sqrt{3}-1 และ \sqrt{3}-1 เพื่อรับ \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$a+b\sqrt{3}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$a+b\sqrt{3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

หารแต่ละพจน์ของ 4-2\sqrt{3} ด้วย 2 ให้ได้ 2-\sqrt{3}

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

ลบ a จากทั้งสองด้าน

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย \sqrt{3}

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

หารด้วย \sqrt{3} เลิกทำการคูณด้วย \sqrt{3}

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

หาร 2-\sqrt{3}-a ด้วย \sqrt{3}

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

หาค่า a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$