แก้โจทย์ 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

หาค่า x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1.777777778$$

$$x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 25 จากทั้งสองด้าน

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

ลบ 25 จาก 9 เพื่อรับ -16

$$9x^{2}+7x-16=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 9x^{2}+ax+bx-16 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -144

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 7

$$a=-9 b=16$$

เขียน 9x^{2}+7x-16 ใหม่เป็น \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

แยกตัวประกอบ 9x ในกลุ่มแรกและ 16 ใน

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-1=0 และ 9x+16=0

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$9x^{2}+7x+9=25$$

ลบ 25 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

ลบ 25 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

ลบ 25 จาก 9

$$9x^{2}+7x-16=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 9 แทน a, 7 แทน b และ -16 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

ยกกำลังสอง 7

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

คูณ -4 ด้วย 9

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

คูณ -36 ด้วย -16

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง 576

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

หารากที่สองของ 625

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

คูณ 2 ด้วย 9

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±25}{18} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -7 ไปยัง 25

$$x=\frac{18}{18}$$

หาร 18 ด้วย 18

$$x=1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±25}{18} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 25 จาก -7

$$x=-\frac{32}{18}$$

ทำเศษส่วน \frac{-32}{18} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=-\frac{16}{9}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$9x^{2}+7x+9=25$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

ลบ 9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$9x^{2}+7x=25-9$$

ลบ 9 จาก 25

$$9x^{2}+7x=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

หารด้วย 9 เลิกทำการคูณด้วย 9

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

หาร \frac{7}{9} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{7}{18} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{7}{18} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{7}{18} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

เพิ่ม \frac{16}{9} ไปยัง \frac{49}{324} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

ลบ \frac{7}{18} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$