แก้โจทย์ 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 7x^{2}+ax+bx-78 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -546

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 5

$$a=-21 b=26$$

เขียน 7x^{2}+5x-78 ใหม่เป็น \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

แยกตัวประกอบ 7x ในกลุ่มแรกและ 26 ใน

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-3=0 และ 7x+26=0

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$7x^{2}+5x-78=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 7 แทน a, 5 แทน b และ -78 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

ยกกำลังสอง 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

คูณ -4 ด้วย 7

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

คูณ -28 ด้วย -78

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง 2184

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

หารากที่สองของ 2209

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

คูณ 2 ด้วย 7

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±47}{14} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -5 ไปยัง 47

$$x=\frac{42}{14}$$

หาร 42 ด้วย 14

$$x=3$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±47}{14} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 47 จาก -5

$$x=-\frac{52}{14}$$

ทำเศษส่วน \frac{-52}{14} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=-\frac{26}{7}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$7x^{2}+5x-78=0$$

เพิ่ม 78 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

ลบ -78 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

ลบ -78 จาก 0

$$7x^{2}+5x=78$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

หารด้วย 7 เลิกทำการคูณด้วย 7

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

หาร \frac{5}{7} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{14} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{14} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{14} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

เพิ่ม \frac{78}{7} ไปยัง \frac{25}{196} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

ลบ \frac{5}{14} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$