แก้โจทย์ 6z^2-11z=-7z-4

$$6 z ^ { 2 } - 11 z = - 7 z - 4$$

หาค่า z

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3}\approx 0.333333333+0.745355992i$$

$$z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0.333333333-0.745355992i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เพิ่ม 7z ไปทั้งสองด้าน

$$6z^{2}-11z+7z=-4$$

รวม -11z และ 7z เพื่อให้ได้รับ -4z

$$6z^{2}-4z=-4$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$6z^{2}-4z+4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 6 แทน a, -4 แทน b และ 4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

ยกกำลังสอง -4

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\times 4}}{2\times 6}$$

คูณ -24 ด้วย 4

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 6}$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -96

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 6}$$

หารากที่สองของ -80

$$z=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

ตรงข้ามกับ -4 คือ 4

$$z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

คูณ 2 ด้วย 6

$$z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12}$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 4 ไปยัง 4i\sqrt{5}

$$z=\frac{4+4\sqrt{5}i}{12}$$

หาร 4+4i\sqrt{5} ด้วย 12

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{4±4\sqrt{5}i}{12} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 4i\sqrt{5} จาก 4

$$z=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{12}$$

หาร 4-4i\sqrt{5} ด้วย 12

$$z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3} z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

เพิ่ม 7z ไปทั้งสองด้าน

$$6z^{2}-11z+7z=-4$$

รวม -11z และ 7z เพื่อให้ได้รับ -4z

$$6z^{2}-4z=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$\frac{6z^{2}-4z}{6}=-\frac{4}{6}$$

หารด้วย 6 เลิกทำการคูณด้วย 6

$$z^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)z=-\frac{4}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{-4}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$z^{2}-\frac{2}{3}z=-\frac{4}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{-4}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$z^{2}-\frac{2}{3}z=-\frac{2}{3}$$

หาร -\frac{2}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$$

เพิ่ม -\frac{2}{3} ไปยัง \frac{1}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$z^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}=-\frac{5}{9}$$

ตัวประกอบz^{2}-\frac{2}{3}z+\frac{1}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(z-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$z-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{3} z-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$z=\frac{1+\sqrt{5}i}{3} z=\frac{-\sqrt{5}i+1}{3}$$