แก้โจทย์ 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 6x^{2}+ax+bx-7 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -42

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 19

$$a=-2 b=21$$

เขียน 6x^{2}+19x-7 ใหม่เป็น \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

แยกตัวประกอบ 2x ในกลุ่มแรกและ 7 ใน

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x-1=0 และ 2x+7=0

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$6x^{2}+19x-7=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 6 แทน a, 19 แทน b และ -7 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

ยกกำลังสอง 19

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

คูณ -24 ด้วย -7

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

เพิ่ม 361 ไปยัง 168

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

หารากที่สองของ 529

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

คูณ 2 ด้วย 6

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-19±23}{12} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -19 ไปยัง 23

$$x=\frac{4}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{4}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=\frac{1}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-19±23}{12} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 23 จาก -19

$$x=-\frac{42}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{-42}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=-\frac{7}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$6x^{2}+19x-7=0$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

ลบ -7 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

ลบ -7 จาก 0

$$6x^{2}+19x=7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

หารด้วย 6 เลิกทำการคูณด้วย 6

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

หาร \frac{19}{6} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{19}{12} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{19}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{19}{12} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

เพิ่ม \frac{7}{6} ไปยัง \frac{361}{144} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

ลบ \frac{19}{12} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$