แก้โจทย์ 5x^2-12x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

หาค่า x

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 5x^{2}+ax+bx-9 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-12 ab=5\left(-9\right)=-45$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -45

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -12

$$a=-15 b=3$$

เขียน 5x^{2}-12x-9 ใหม่เป็น \left(5x^{2}-15x\right)+\left(3x-9\right)

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(3x-9\right)$$

แยกตัวประกอบ 5x ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$5x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-3\right)\left(5x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-3=0 และ 5x+3=0

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}-12x-9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, -12 แทน b และ -9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง -12

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

คูณ -20 ด้วย -9

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 144 ไปยัง 180

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ 324

$$x=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\times 5}$$

ตรงข้ามกับ -12 คือ 12

$$x=\frac{12±18}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{12±18}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{12±18}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 12 ไปยัง 18

$$x=\frac{30}{10}$$

หาร 30 ด้วย 10

$$x=3$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{12±18}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 18 จาก 12

$$x=-\frac{6}{10}$$

ทำเศษส่วน \frac{-6}{10} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=-\frac{3}{5}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}-12x-9=0$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

ลบ -9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

ลบ -9 จาก 0

$$5x^{2}-12x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{9}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{9}{5}$$

หาร -\frac{12}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{6}{5} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{6}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{6}{5} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{9}{5}+\frac{36}{25}$$

เพิ่ม \frac{9}{5} ไปยัง \frac{36}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{81}{25}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{6}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{9}{5}$$

เพิ่ม \frac{6}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$