แก้โจทย์ 5x^2+7x+19=0

$$5 x ^ { 2 } + 7 x + 19 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}\approx -0.7+1.81934054i$$

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}\approx -0.7-1.81934054i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}+7x+19=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, 7 แทน b และ 19 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง 7

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 19}}{2\times 5}$$

คูณ -20 ด้วย 19

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-380}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง -380

$$x=\frac{-7±\sqrt{-331}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ -331

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -7 ไปยัง i\sqrt{331}

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{331} จาก -7

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}+7x+19=0$$

ลบ 19 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}+7x+19-19=-19$$

ลบ 19 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}+7x=-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{19}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{19}{5}$$

หาร \frac{7}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{7}{10} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{7}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{19}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{7}{10} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{19}{5}+\frac{49}{100}$$

เพิ่ม -\frac{19}{5} ไปยัง \frac{49}{100} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{331}{100}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{331}{100}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{331}{100}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{331}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{331}i}{10}$$

ลบ \frac{7}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$