แก้โจทย์ 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

หาค่า t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5t^{2}-72t-108=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, -72 แทน b และ -108 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง -72

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

คูณ -20 ด้วย -108

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 5184 ไปยัง 2160

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ 7344

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

ตรงข้ามกับ -72 คือ 72

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 72 ไปยัง 12\sqrt{51}

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

หาร 72+12\sqrt{51} ด้วย 10

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 12\sqrt{51} จาก 72

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

หาร 72-12\sqrt{51} ด้วย 10

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5t^{2}-72t-108=0$$

เพิ่ม 108 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

ลบ -108 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

ลบ -108 จาก 0

$$5t^{2}-72t=108$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

หาร -\frac{72}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{36}{5} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{36}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{36}{5} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

เพิ่ม \frac{108}{5} ไปยัง \frac{1296}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

ตัวประกอบt^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

เพิ่ม \frac{36}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$