แก้โจทย์ 5x^2-3x+1=0

$$5 { x }^{ 2 } -3x+1=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10}\approx 0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}\approx 0.3-0.331662479i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}-3x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, -3 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง -3

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -20

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ -11

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

ตรงข้ามกับ -3 คือ 3

$$x=\frac{3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{3±\sqrt{11}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±\sqrt{11}i}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 3 ไปยัง i\sqrt{11}

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±\sqrt{11}i}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{11} จาก 3

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}-3x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}-3x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}-3x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

หาร -\frac{3}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{3}{10} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{3}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{3}{10} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

เพิ่ม -\frac{1}{5} ไปยัง \frac{9}{100} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

เพิ่ม \frac{3}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}$$