แก้โจทย์ 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

หาค่า x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 40x^{2}+ax+bx+1 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 40

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -14

$$a=-10 b=-4$$

เขียน 40x^{2}-14x+1 ใหม่เป็น \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

แยกตัวประกอบ 10x ในกลุ่มแรกและ -1 ใน

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 4x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 4x-1=0 และ 10x-1=0

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$40x^{2}-14x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 40 แทน a, -14 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

ยกกำลังสอง -14

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

คูณ -4 ด้วย 40

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

เพิ่ม 196 ไปยัง -160

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

หารากที่สองของ 36

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

ตรงข้ามกับ -14 คือ 14

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

คูณ 2 ด้วย 40

$$x=\frac{14±6}{80}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{14±6}{80} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 14 ไปยัง 6

$$x=\frac{20}{80}$$

ทำเศษส่วน \frac{20}{80} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 20

$$x=\frac{1}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{14±6}{80} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 6 จาก 14

$$x=\frac{8}{80}$$

ทำเศษส่วน \frac{8}{80} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$x=\frac{1}{10}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$40x^{2}-14x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$40x^{2}-14x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 40

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

หารด้วย 40 เลิกทำการคูณด้วย 40

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

ทำเศษส่วน \frac{-14}{40} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

หาร -\frac{7}{20} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{7}{40} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{7}{40} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{7}{40} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

เพิ่ม -\frac{1}{40} ไปยัง \frac{49}{1600} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

เพิ่ม \frac{7}{40} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$