แก้โจทย์ 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

หาค่า x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1.42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0.17539053$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}-5x-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -5 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -5

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย -1

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง 16

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -5 คือ 5

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 5 ไปยัง \sqrt{41}

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \sqrt{41} จาก 5

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}-5x-1=0$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จาก 0

$$4x^{2}-5x=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

หาร -\frac{5}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง \frac{25}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

เพิ่ม \frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$