แก้โจทย์ 4x^2+6x-1>0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 1 > 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\infty\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$4x^{2}+6x-1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 4 สำหรับ a 6 สำหรับ b และ -1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}$$

แก้สมการ x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$4\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)>0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าบวก x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} และ x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} ต้องเป็นค่าลบทั้งคู่ หรือค่าบวกทั้งคู่ พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} และ x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} เป็นค่าลบทั้งคู่

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} และ x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} เป็นค่าบวกทั้งคู่

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}>0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$