แก้โจทย์ 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3.5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3.5-i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}+28x+53=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 28 แทน b และ 53 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 28

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 53

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 784 ไปยัง -848

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ -64

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-28±8i}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -28 ไปยัง 8i

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

หาร -28+8i ด้วย 8

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-28±8i}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 8i จาก -28

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

หาร -28-8i ด้วย 8

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}+28x+53=0$$

ลบ 53 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

ลบ 53 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}+28x=-53$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

หาร 28 ด้วย 4

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

หาร 7 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{7}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{7}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{7}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

เพิ่ม -\frac{53}{4} ไปยัง \frac{49}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

ตัวประกอบx^{2}+7x+\frac{49}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

ลบ \frac{7}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$