แก้โจทย์ 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1.166666667+0.552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1.166666667-0.552770798i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}-7x+5=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, -7 แทน b และ 5 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง -7

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย 5

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง -60

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ -11

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

ตรงข้ามกับ -7 คือ 7

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 7 ไปยัง i\sqrt{11}

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{11} จาก 7

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}-7x+5=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

ลบ 5 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}-7x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

หาร -\frac{7}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{7}{6} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{7}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{7}{6} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

เพิ่ม -\frac{5}{3} ไปยัง \frac{49}{36} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

เพิ่ม \frac{7}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$