แก้โจทย์ 3x^2-5x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0.833333333+0.799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0.833333333-0.799305254i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}-5x+4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, -5 แทน b และ 4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง -5

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 4}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -48

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ -23

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

ตรงข้ามกับ -5 คือ 5

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 5 ไปยัง i\sqrt{23}

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{23} จาก 5

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}-5x+4=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}-5x+4-4=-4$$

ลบ 4 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}-5x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{4}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

หาร -\frac{5}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{6} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{6} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

เพิ่ม -\frac{4}{3} ไปยัง \frac{25}{36} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

เพิ่ม \frac{5}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$