แก้โจทย์ 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

หาค่า n

$$n=-20$$

$$n=19$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 1141 จากทั้งสองด้าน

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

ลบ 1141 จาก 1 เพื่อรับ -1140

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$n^{2}+n-380=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น n^{2}+an+bn-380 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -380

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 1

$$a=-19 b=20$$

เขียน n^{2}+n-380 ใหม่เป็น \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

แยกตัวประกอบ n ในกลุ่มแรกและ 20 ใน

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-19 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-19=0 และ n+20=0

$$n=19 n=-20$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

ลบ 1141 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

ลบ 1141 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

ลบ 1141 จาก 1

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 3 แทน b และ -1140 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 3

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย -1140

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง 13680

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 13689

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-3±117}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -3 ไปยัง 117

$$n=\frac{114}{6}$$

หาร 114 ด้วย 6

$$n=19$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-3±117}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 117 จาก -3

$$n=-\frac{120}{6}$$

หาร -120 ด้วย 6

$$n=-20$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=19 n=-20$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

ลบ 1 จาก 1141

$$3n^{2}+3n=1140$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

หาร 3 ด้วย 3

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

หาร 1140 ด้วย 3

$$n^{2}+n=380$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 380 ไปยัง \frac{1}{4}

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

ตัวประกอบn^{2}+n+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$n=19 n=-20$$