แก้โจทย์ 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

หาค่า y

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 25y^{2}+ay+by-63 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -1575

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -54

$$a=-75 b=21$$

เขียน 25y^{2}-54y-63 ใหม่เป็น \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

แยกตัวประกอบ 25y ในกลุ่มแรกและ 21 ใน

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม y-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข y-3=0 และ 25y+21=0

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$25y^{2}-54y-63=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 25 แทน a, -54 แทน b และ -63 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

ยกกำลังสอง -54

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

คูณ -4 ด้วย 25

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

คูณ -100 ด้วย -63

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

เพิ่ม 2916 ไปยัง 6300

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

หารากที่สองของ 9216

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

ตรงข้ามกับ -54 คือ 54

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

คูณ 2 ด้วย 25

$$y=\frac{54±96}{50}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{54±96}{50} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 54 ไปยัง 96

$$y=\frac{150}{50}$$

หาร 150 ด้วย 50

$$y=3$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{54±96}{50} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 96 จาก 54

$$y=-\frac{42}{50}$$

ทำเศษส่วน \frac{-42}{50} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$y=-\frac{21}{25}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$25y^{2}-54y-63=0$$

เพิ่ม 63 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

ลบ -63 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

ลบ -63 จาก 0

$$25y^{2}-54y=63$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

หารด้วย 25 เลิกทำการคูณด้วย 25

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

หาร -\frac{54}{25} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{27}{25} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{27}{25} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{27}{25} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

เพิ่ม \frac{63}{25} ไปยัง \frac{729}{625} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

ตัวประกอบy^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

เพิ่ม \frac{27}{25} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$