แก้โจทย์ 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

หาค่า x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 24x^{2}+ax+bx+21 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 504

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -65

$$a=-56 b=-9$$

เขียน 24x^{2}-65x+21 ใหม่เป็น \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

แยกตัวประกอบ 8x ในกลุ่มแรกและ -3 ใน

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-7 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x-7=0 และ 8x-3=0

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$24x^{2}-65x+21=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 24 แทน a, -65 แทน b และ 21 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

ยกกำลังสอง -65

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

คูณ -4 ด้วย 24

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

คูณ -96 ด้วย 21

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

เพิ่ม 4225 ไปยัง -2016

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

หารากที่สองของ 2209

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

ตรงข้ามกับ -65 คือ 65

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

คูณ 2 ด้วย 24

$$x=\frac{65±47}{48}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{65±47}{48} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 65 ไปยัง 47

$$x=\frac{112}{48}$$

ทำเศษส่วน \frac{112}{48} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 16

$$x=\frac{7}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{65±47}{48} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 47 จาก 65

$$x=\frac{18}{48}$$

ทำเศษส่วน \frac{18}{48} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=\frac{3}{8}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$24x^{2}-65x+21=0$$

ลบ 21 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

ลบ 21 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$24x^{2}-65x=-21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 24

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

หารด้วย 24 เลิกทำการคูณด้วย 24

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

ทำเศษส่วน \frac{-21}{24} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

หาร -\frac{65}{24} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{65}{48} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{65}{48} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{65}{48} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

เพิ่ม -\frac{7}{8} ไปยัง \frac{4225}{2304} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

เพิ่ม \frac{65}{48} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$