แก้โจทย์ 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0.108695652+0.344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0.108695652-0.344412598i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$23x^{2}+5x+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 23 แทน a, 5 แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

ยกกำลังสอง 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

คูณ -4 ด้วย 23

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

คูณ -92 ด้วย 3

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -276

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

หารากที่สองของ -251

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

คูณ 2 ด้วย 23

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -5 ไปยัง i\sqrt{251}

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{251} จาก -5

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$23x^{2}+5x+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

ลบ 3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$23x^{2}+5x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 23

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

หารด้วย 23 เลิกทำการคูณด้วย 23

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

หาร \frac{5}{23} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{46} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{46} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{46} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

เพิ่ม -\frac{3}{23} ไปยัง \frac{25}{2116} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

ลบ \frac{5}{46} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$