แก้โจทย์ 2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

หาค่า y

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1.545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1.345683229$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

ลบ 2 จาก \frac{3}{25} เพื่อรับ -\frac{47}{25}

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

ลบ -\frac{47}{25} จากทั้งสองด้าน

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

ตรงข้ามกับ -\frac{47}{25} คือ \frac{47}{25}

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

เพิ่ม \frac{6}{5}y ไปทั้งสองด้าน

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{5} และ \frac{47}{25} เพื่อให้ได้รับ \frac{52}{25}

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

รวม -y และ \frac{6}{5}y เพื่อให้ได้รับ \frac{1}{5}y

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

ลบ 3y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

รวม 2y^{2} และ -3y^{2} เพื่อให้ได้รับ -y^{2}

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, \frac{1}{5} แทน b และ \frac{52}{25} แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{5} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย \frac{52}{25}

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม \frac{1}{25} ไปยัง \frac{208}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ \frac{209}{25}

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -\frac{1}{5} ไปยัง \frac{\sqrt{209}}{5}

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

หาร \frac{-1+\sqrt{209}}{5} ด้วย -2

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \frac{\sqrt{209}}{5} จาก -\frac{1}{5}

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

หาร \frac{-1-\sqrt{209}}{5} ด้วย -2

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

ลบ 2 จาก \frac{3}{25} เพื่อรับ -\frac{47}{25}

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

เพิ่ม \frac{6}{5}y ไปทั้งสองด้าน

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

รวม -y และ \frac{6}{5}y เพื่อให้ได้รับ \frac{1}{5}y

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

ลบ 3y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

รวม 2y^{2} และ -3y^{2} เพื่อให้ได้รับ -y^{2}

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

ลบ \frac{1}{5} จากทั้งสองด้าน

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

ลบ \frac{1}{5} จาก -\frac{47}{25} เพื่อรับ -\frac{52}{25}

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

หาร \frac{1}{5} ด้วย -1

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

หาร -\frac{52}{25} ด้วย -1

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

หาร -\frac{1}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{10} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{10} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

เพิ่ม \frac{52}{25} ไปยัง \frac{1}{100} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

ตัวประกอบy^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

เพิ่ม \frac{1}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$