แก้โจทย์ 2x^4+7x^3+16x+56=0

$$2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } + 16 x + 56 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1.732050808i$$

$$x=-2$$

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1.732050808i$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 56 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 2 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 ด้วย x+2 เพื่อรับ 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 28 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 2 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-\frac{7}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 ด้วย 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7 เพื่อรับ x^{2}-2x+4 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}-2x+4=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -2 สำหรับ b และ 4 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

แก้สมการ x^{2}-2x+4=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=-2 x=-\frac{7}{2} x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

หาค่า x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=-2$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 56 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 2 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 ด้วย x+2 เพื่อรับ 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 28 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 2 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-\frac{7}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 ด้วย 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7 เพื่อรับ x^{2}-2x+4 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}-2x+4=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -2 สำหรับ b และ 4 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$x\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=-2 x=-\frac{7}{2}$$