แก้โจทย์ (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

หาค่า x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(3x+1\right)^{2}

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย x+1

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5x-5 ด้วย x-1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

รวม 9x^{2} และ -5x^{2} เพื่อให้ได้รับ 4x^{2}

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

เพิ่ม 1 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 6

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

ลบ 8 จาก 6 เพื่อรับ -2

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

รวม 6x และ x เพื่อให้ได้รับ 7x

$$4x^{2}+7x-2=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 4x^{2}+ax+bx-2 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -8

$$-1,8 -2,4$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+8=7 -2+4=2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 7

$$a=-1 b=8$$

เขียน 4x^{2}+7x-2 ใหม่เป็น \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 2 ใน

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 4x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 4x-1=0 และ x+2=0

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(3x+1\right)^{2}

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย x+1

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5x-5 ด้วย x-1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

รวม 9x^{2} และ -5x^{2} เพื่อให้ได้รับ 4x^{2}

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

เพิ่ม 1 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 6

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

ลบ 8 จาก 6 เพื่อรับ -2

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

รวม 6x และ x เพื่อให้ได้รับ 7x

$$4x^{2}+7x-2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 7 แทน b และ -2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 7

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย -2

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง 32

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 81

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±9}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -7 ไปยัง 9

$$x=\frac{2}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{2}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{1}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±9}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 9 จาก -7

$$x=-\frac{16}{8}$$

หาร -16 ด้วย 8

$$x=-2$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(3x+1\right)^{2}

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย x+1

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5x-5 ด้วย x-1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

รวม 9x^{2} และ -5x^{2} เพื่อให้ได้รับ 4x^{2}

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

เพิ่ม 1 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 6

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

รวม 6x และ x เพื่อให้ได้รับ 7x

$$4x^{2}+7x+6=8$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+7x=8-6$$

ลบ 6 จาก 8 เพื่อรับ 2

$$4x^{2}+7x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{2}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

หาร \frac{7}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{7}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{7}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{7}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{49}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

ลบ \frac{7}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$