แก้โจทย์ (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

หาค่า x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x+1\right)^{2}

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-5\right)^{2}

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

รวม 4x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

เพิ่ม 10x ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

รวม 4x และ 10x เพื่อให้ได้รับ 14x

$$3x^{2}+14x+1=25$$

ลบ 25 จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

ลบ 25 จาก 1 เพื่อรับ -24

$$3x^{2}+14x-24=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx-24 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -72

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 14

$$a=-4 b=18$$

เขียน 3x^{2}+14x-24 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 6 ใน

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-4 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x-4=0 และ x+6=0

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x+1\right)^{2}

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-5\right)^{2}

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

รวม 4x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

เพิ่ม 10x ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

รวม 4x และ 10x เพื่อให้ได้รับ 14x

$$3x^{2}+14x+1=25$$

ลบ 25 จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

ลบ 25 จาก 1 เพื่อรับ -24

$$3x^{2}+14x-24=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 14 แทน b และ -24 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 14

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย -24

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 196 ไปยัง 288

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 484

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-14±22}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -14 ไปยัง 22

$$x=\frac{8}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{8}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{4}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-14±22}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 22 จาก -14

$$x=-\frac{36}{6}$$

หาร -36 ด้วย 6

$$x=-6$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x+1\right)^{2}

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-5\right)^{2}

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

รวม 4x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

เพิ่ม 10x ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

รวม 4x และ 10x เพื่อให้ได้รับ 14x

$$3x^{2}+14x+1=25$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+14x=25-1$$

ลบ 1 จาก 25 เพื่อรับ 24

$$3x^{2}+14x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

หาร 24 ด้วย 3

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

หาร \frac{14}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{7}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{7}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{7}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

เพิ่ม 8 ไปยัง \frac{49}{9}

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

ลบ \frac{7}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$