แก้โจทย์ (frac{sqrt{5}+1}{2})^2-(frac{sqrt{5}-1}{2})^2

$$( \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - ( \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } ) ^ { 2 }$$

หาค่า

$$\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{\sqrt{5}+1}{2} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{\sqrt{5}-1}{2} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

เพิ่ม 5 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 6

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ขยาย 2^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

เนื่องจาก \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} และ \frac{6-2\sqrt{5}}{4} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

ทำการคูณใน \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

ทำการคำนวณใน \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

ตัด 4 และ 4

$$\sqrt{5}$$

ขยาย

$$\sqrt{5} = 2.236067977$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{\sqrt{5}+1}{2} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{\sqrt{5}-1}{2} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

เพิ่ม 5 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 6

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ขยาย 2^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

เนื่องจาก \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} และ \frac{6-2\sqrt{5}}{4} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

ทำการคูณใน \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

ทำการคำนวณใน \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

ตัด 4 และ 4

$$\sqrt{5}$$