แก้โจทย์ sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

หาค่า x

$$x=9$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ -\sqrt{13-x} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x+7} กำลังของ 2 และรับ x+7

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{13-x} กำลังของ 2 และรับ 13-x

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

เพิ่ม 4 และ 13 เพื่อให้ได้รับ 17

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

ลบ 17-x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 17-x ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

ลบ 17 จาก 7 เพื่อรับ -10

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

รวม x และ x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-10\right)^{2}

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

ขยาย \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

คำนวณ 4 กำลังของ 2 และรับ 16

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{13-x} กำลังของ 2 และรับ 13-x

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 13-x

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

ลบ 208 จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

ลบ 208 จาก 100 เพื่อรับ -108

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

เพิ่ม 16x ไปทั้งสองด้าน

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

รวม -40x และ 16x เพื่อให้ได้รับ -24x

$$4x^{2}-24x-108=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x^{2}-6x-27=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น x^{2}+ax+bx-27 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -27

$$1,-27 3,-9$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-27=-26 3-9=-6$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -6

$$a=-9 b=3$$

เขียน x^{2}-6x-27 ใหม่เป็น \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-9 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-9=0 และ x+3=0

$$x=9 x=-3$$

ทดแทน 9 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=9 ตรงตามสมการ

$$2=2$$

ทดแทน -3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=-3 ไม่ตรงกับสมการเนื่องจากหน้าซ้ายและด้านขวามีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน

$$-2=2$$

ทดแทน 9 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=9 ตรงตามสมการ

$$2=2$$

สมการ \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=9$$