แก้โจทย์ sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. h

$$\cos(h)$$

ขั้นตอนที่ใช้นิยามของอนุพันธ์

สำหรับฟังก์ชัน f\left(x\right), อนุพันธ์คือขีดจำกัดของ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} เป็น h ไปที่ 0 ถ้าข้อจำกัดมีอยู่

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

ใช้สูตรผลรวมของไซน์

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

แยกตัวประกอบ \sin(h)

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

เขียนขีดจำกัดเขียนใหม่

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

ใช้ข้อเท็จจริงที่ h เป็นค่าคงที่เมื่อคำนวณขีดจำกัดเป็น t ไปที่ 0

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

ขีดจำกัด \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} คือ 1

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

ในการหาค่าข้อจำกัด \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t} ขั้นแรก คูณตัวเศษและตัวส่วนโดย \cos(t)+1

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

คูณ \cos(t)+1 ด้วย \cos(t)-1

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

ใช้เอกลักษณ์ของพีทาโกรัส

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

เขียนขีดจำกัดเขียนใหม่

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

ขีดจำกัด \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} คือ 1

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

ใช้ข้อเท็จจริงที่ \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} เป็นแบบต่อเนื่องที่ 0

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

แทนที่ค่า 0 ลงในนิพจน์ \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)

$$\cos(h)$$

หาค่า

$$\sin(h)$$