แก้โจทย์ {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$32x+3y=5$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$32x=-3y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 32

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{32} ด้วย -3y+5

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

ทดแทน \frac{-3y+5}{32} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=70

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y+5}{32}

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

เพิ่ม -\frac{9y}{32} ไปยัง 2y

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

ลบ \frac{15}{32} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{55}{32} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{445}{11}$$

ทดแทน \frac{445}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

คูณ -\frac{3}{32} ครั้ง \frac{445}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

เพิ่ม \frac{5}{32} ไปยัง -\frac{1335}{352} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{40}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

เพื่อทำให้ 32x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 32

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

ลบ 96x+64y=2240 จาก 96x+9y=15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

เพิ่ม 96x ไปยัง -96x ตัดพจน์ 96x และ -96x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-64y=15-2240$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -64y

$$-55y=15-2240$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -2240

$$-55y=-2225$$

หารทั้งสองข้างด้วย -55

$$y=\frac{445}{11}$$

ทดแทน \frac{445}{11} สำหรับ y ใน 3x+2y=70 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

คูณ 2 ด้วย \frac{445}{11}

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

ลบ \frac{890}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{120}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{40}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$