แก้โจทย์ {r}{2x+3y=-9}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = - 9 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=-9$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-9\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y-9

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y-9}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-y=3

$$-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}-y=3$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง -y

$$-\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=3$$

เพิ่ม \frac{9}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{9}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย -3

$$x=\frac{9-9}{2}$$

เพิ่ม -\frac{9}{2} ไปยัง \frac{9}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{3}{5}\times 3\\\frac{1}{5}\left(-9\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

เพื่อทำให้ 2x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2x+3y=-9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+3y=-9,2x-2y=6$$

ลบ 2x-2y=6 จาก 2x+3y=-9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+3y+2y=-9-6$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y+2y=-9-6$$

เพิ่ม 3y ไปยัง 2y

$$5y=-9-6$$

เพิ่ม -9 ไปยัง -6

$$5y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x-y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-\left(-3\right)=3$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-3$$