แก้โจทย์ {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง รวม y และ y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$x+2y=315.9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-6x=0$$

เพิ่ม 6x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=6x$$

ทดแทน 6x สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y+x=315.9

$$2\times 6x+x=315.9$$

คูณ 2 ด้วย 6x

$$12x+x=315.9$$

เพิ่ม 12x ไปยัง x

$$13x=315.9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$x=24.3$$

ทดแทน 24.3 สำหรับ x ใน y=6x เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=6\times 24.3$$

คูณ 6 ด้วย 24.3

$$y=145.8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=145.8,x=24.3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง รวม y และ y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$x+2y=315.9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง รวม y และ y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$x+2y=315.9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

เพื่อทำให้ y และ 2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

ลบ 2y+x=315.9 จาก 2y-12x=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12x-x=-315.9$$

เพิ่ม -12x ไปยัง -x

$$-13x=-315.9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$x=\frac{243}{10}$$

ทดแทน \frac{243}{10} สำหรับ x ใน 2y+x=315.9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

ลบ \frac{243}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=\frac{1458}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{729}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$