แก้โจทย์ {l}{y=2x-4}{x+2y-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x+2y=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-2x=-4$$

เพิ่ม 2x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=2x-4$$

ทดแทน -4+2x สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y+x=1

$$2\left(2x-4\right)+x=1$$

คูณ 2 ด้วย -4+2x

$$4x-8+x=1$$

เพิ่ม 4x ไปยัง x

$$5x-8=1$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{9}{5}$$

ทดแทน \frac{9}{5} สำหรับ x ใน y=2x-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=2\times \frac{9}{5}-4$$

คูณ 2 ด้วย \frac{9}{5}

$$y=\frac{18}{5}-4$$

เพิ่ม -4 ไปยัง \frac{18}{5}

$$y=-\frac{2}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x+2y=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x+2y=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

เพื่อทำให้ y และ 2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-4\right),2y+x=1$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2y-4x=-8,2y+x=1$$

ลบ 2y+x=1 จาก 2y-4x=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-2y-4x-x=-8-1$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4x-x=-8-1$$

เพิ่ม -4x ไปยัง -x

$$-5x=-8-1$$

เพิ่ม -8 ไปยัง -1

$$-5x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=\frac{9}{5}$$

ทดแทน \frac{9}{5} สำหรับ x ใน 2y+x=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2y+\frac{9}{5}=1$$

ลบ \frac{9}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-\frac{4}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-\frac{2}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$