แก้โจทย์ {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=0$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{x}{3} จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3y-x=-9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y-x=-9$$

เพิ่ม x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=x-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย x-9

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

ทดแทน \frac{x}{3}-3 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+4x=-3

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

เพิ่ม \frac{x}{3} ไปยัง 4x

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{3}x=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน y=\frac{1}{3}x-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-3,x=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{x}{3} จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3y-x=-9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-3,x=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{x}{3} จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3y-x=-9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

เพื่อทำให้ 3y และ y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

ลบ 3y+12x=-9 จาก 3y-x=-9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -3y ตัดพจน์ 3y และ -3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-x-12x=-9+9$$

เพิ่ม -x ไปยัง -12x

$$-13x=-9+9$$

เพิ่ม -9 ไปยัง 9

$$-13x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน y+4x=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-3,x=0$$