แก้โจทย์ {l}{x-y=7}{y=2x-12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 7 } \\ { y = 2 x - 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-12$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=7$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+7$$

ทดแทน y+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+y=-12

$$-2\left(y+7\right)+y=-12$$

คูณ -2 ด้วย y+7

$$-2y-14+y=-12$$

เพิ่ม -2y ไปยัง y

$$-y-14=-12$$

เพิ่ม 14 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -2

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-12$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7-\left(-12\right)\\-2\times 7-\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-12$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

เพื่อทำให้ x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-2x-2\left(-1\right)y=-2\times 7,-2x+y=-12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+2y=-14,-2x+y=-12$$

ลบ -2x+y=-12 จาก -2x+2y=-14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+2y-y=-14+12$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-y=-14+12$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -y

$$y=-14+12$$

เพิ่ม -14 ไปยัง 12

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน -2x+y=-12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-2=-12$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-2$$