แก้โจทย์ {l}{x(y+2)-y(x+1)=3}{y(x-1)-x(y-5)=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x ( y + 2 ) - y ( x + 1 ) = 3 } \\ { y ( x - 1 ) - x ( y - 5 ) = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย y+2

$$xy+2x-y\left(x+1\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x+1

$$xy+2x-\left(yx+y\right)=3$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ yx+y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$xy+2x-yx-y=3$$

รวม xy และ -yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$2x-y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x-1

$$yx-y-x\left(y-5\right)=9$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย y-5

$$yx-y-\left(xy-5x\right)=9$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ xy-5x ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$yx-y-xy+5x=9$$

รวม yx และ -xy เพื่อให้ได้รับ 0

$$-y+5x=9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=3,5x-y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=3$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+3

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3+y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-y=9

$$5\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-y=9$$

คูณ 5 ด้วย \frac{3+y}{2}

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}-y=9$$

เพิ่ม \frac{5y}{2} ไปยัง -y

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

ลบ \frac{15}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1+3}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง \frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย y+2

$$xy+2x-y\left(x+1\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x+1

$$xy+2x-\left(yx+y\right)=3$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ yx+y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$xy+2x-yx-y=3$$

รวม xy และ -yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$2x-y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x-1

$$yx-y-x\left(y-5\right)=9$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย y-5

$$yx-y-\left(xy-5x\right)=9$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ xy-5x ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$yx-y-xy+5x=9$$

รวม yx และ -xy เพื่อให้ได้รับ 0

$$-y+5x=9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=3,5x-y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\5&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{3}\times 3+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย y+2

$$xy+2x-y\left(x+1\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x+1

$$xy+2x-\left(yx+y\right)=3$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ yx+y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$xy+2x-yx-y=3$$

รวม xy และ -yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$2x-y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย x-1

$$yx-y-x\left(y-5\right)=9$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย y-5

$$yx-y-\left(xy-5x\right)=9$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ xy-5x ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$yx-y-xy+5x=9$$

รวม yx และ -xy เพื่อให้ได้รับ 0

$$-y+5x=9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=3,5x-y=9$$

ลบ 5x-y=9 จาก 2x-y=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-5x-y+y=3-9$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-5x=3-9$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -5x

$$-3x=3-9$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -9

$$-3x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน 5x-y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5\times 2-y=9$$

คูณ 5 ด้วย 2

$$10-y=9$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$