แก้โจทย์ {l}{x+y=7}{5x+12y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 5 x + 12 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=11$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=7,5x+12y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=7$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+7$$

ทดแทน -y+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+12y=7

$$5\left(-y+7\right)+12y=7$$

คูณ 5 ด้วย -y+7

$$-5y+35+12y=7$$

เพิ่ม -5y ไปยัง 12y

$$7y+35=7$$

ลบ 35 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7y=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=-y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-4\right)+7$$

คูณ -1 ด้วย -4

$$x=4+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง 4

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=7,5x+12y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5}&-\frac{1}{12-5}\\-\frac{5}{12-5}&\frac{1}{12-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{5}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=11,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=7,5x+12y=7$$

เพื่อทำให้ x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$5x+5y=5\times 7,5x+12y=7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5x+5y=35,5x+12y=7$$

ลบ 5x+12y=7 จาก 5x+5y=35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x+5y-12y=35-7$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y-12y=35-7$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -12y

$$-7y=35-7$$

เพิ่ม 35 ไปยัง -7

$$-7y=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน 5x+12y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+12\left(-4\right)=7$$

คูณ 12 ด้วย -4

$$5x-48=7$$

เพิ่ม 48 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=55$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=-4$$