แก้โจทย์ {l}{x+3y=4}{-2x+y=-22}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { - 2 x + y = - 22 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+3y=4$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-3y+4$$

ทดแทน -3y+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+y=-22

$$-2\left(-3y+4\right)+y=-22$$

คูณ -2 ด้วย -3y+4

$$6y-8+y=-22$$

เพิ่ม 6y ไปยัง y

$$7y-8=-22$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7y=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-3y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3\left(-2\right)+4$$

คูณ -3 ด้วย -2

$$x=6+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 6

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-3\left(-2\right)}&\frac{1}{1-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 4-\frac{3}{7}\left(-22\right)\\\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

เพื่อทำให้ x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-2x-2\times 3y=-2\times 4,-2x+y=-22$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-6y=-8,-2x+y=-22$$

ลบ -2x+y=-22 จาก -2x-6y=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-6y-y=-8+22$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y-y=-8+22$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -y

$$-7y=-8+22$$

เพิ่ม -8 ไปยัง 22

$$-7y=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน -2x+y=-22 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-2=-22$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-2$$