แก้โจทย์ {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

เพิ่ม ny ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย m

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

คูณ \frac{1}{m} ด้วย ny+m^{2}+n^{2}

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

ทดแทน \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=2m

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

เพิ่ม \frac{ny}{m} ไปยัง y

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

ลบ m+\frac{n^{2}}{m} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

หารทั้งสองข้างด้วย \frac{m+n}{m}

$$y=m-n$$

ทดแทน m-n สำหรับ y ใน x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

คูณ \frac{n}{m} ด้วย m-n

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

เพิ่ม m+\frac{n^{2}}{m} ไปยัง \frac{n\left(m-n\right)}{m}

$$x=m+n$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=m+n,y=m-n$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=m+n,y=m-n$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

เพื่อทำให้ mx และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย m

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

ลบ mx+my=2m^{2} จาก mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

เพิ่ม mx ไปยัง -mx ตัดพจน์ mx และ -mx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

เพิ่ม -ny ไปยัง -my

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

เพิ่ม m^{2}+n^{2} ไปยัง -2m^{2}

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

หารทั้งสองข้างด้วย -m-n

$$y=m-n$$

ทดแทน m-n สำหรับ y ใน x+y=2m เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+m-n=2m$$

ลบ m-n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=m+n$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=m+n,y=m-n$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

เพิ่ม ny ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย m

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

คูณ \frac{1}{m} ด้วย ny+m^{2}+n^{2}

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

ทดแทน \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=2m

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

เพิ่ม \frac{ny}{m} ไปยัง y

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

ลบ m+\frac{n^{2}}{m} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

หารทั้งสองข้างด้วย \frac{m+n}{m}

$$y=m-n$$

ทดแทน m-n สำหรับ y ใน x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

คูณ \frac{n}{m} ด้วย m-n

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

เพิ่ม m+\frac{n^{2}}{m} ไปยัง \frac{n\left(m-n\right)}{m}

$$x=m+n$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=m+n,y=m-n$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=m+n,y=m-n$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

เพื่อทำให้ mx และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย m

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

ลบ mx+my=2m^{2} จาก mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

เพิ่ม mx ไปยัง -mx ตัดพจน์ mx และ -mx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

เพิ่ม -ny ไปยัง -my

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

เพิ่ม m^{2}+n^{2} ไปยัง -2m^{2}

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

หารทั้งสองข้างด้วย -m-n

$$y=m-n$$

ทดแทน m-n สำหรับ y ใน x+y=2m เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+m-n=2m$$

ลบ m-n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=m+n$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=m+n,y=m-n$$