แก้โจทย์ {l}{a+b=7}{a-b=3}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 7 } \\ { a - b = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=5$$

$$b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$a+b=7,a-b=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$a+b=7$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$a=-b+7$$

ทดแทน -b+7 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a-b=3

$$-b+7-b=3$$

เพิ่ม -b ไปยัง -b

$$-2b+7=3$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2b=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a=-b+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-2+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -2

$$a=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=5,b=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$a+b=7,a-b=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}\times 3\\\frac{1}{2}\times 7-\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=5,b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$a+b=7,a-b=3$$

ลบ a-b=3 จาก a+b=7 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$a-a+b+b=7-3$$

เพิ่ม a ไปยัง -a ตัดพจน์ a และ -a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$b+b=7-3$$

เพิ่ม b ไปยัง b

$$2b=7-3$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -3

$$2b=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a-b=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a-2=3$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=5,b=2$$