แก้โจทย์ {l}{a+2b=29}{2a+b=17}

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 29 } \\ { 2 a + b = 17 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3} \approx 13.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$a+2b=29,2a+b=17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$a+2b=29$$

ลบ 2b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$a=-2b+29$$

ทดแทน -2b+29 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 2a+b=17

$$2\left(-2b+29\right)+b=17$$

คูณ 2 ด้วย -2b+29

$$-4b+58+b=17$$

เพิ่ม -4b ไปยัง b

$$-3b+58=17$$

ลบ 58 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3b=-41$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$b=\frac{41}{3}$$

ทดแทน \frac{41}{3} สำหรับ b ใน a=-2b+29 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-2\times \frac{41}{3}+29$$

คูณ -2 ด้วย \frac{41}{3}

$$a=-\frac{82}{3}+29$$

เพิ่ม 29 ไปยัง -\frac{82}{3}

$$a=\frac{5}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$a+2b=29,2a+b=17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 29+\frac{2}{3}\times 17\\\frac{2}{3}\times 29-\frac{1}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{41}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$a+2b=29,2a+b=17$$

เพื่อทำให้ a และ 2a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2a+2\times 2b=2\times 29,2a+b=17$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2a+4b=58,2a+b=17$$

ลบ 2a+b=17 จาก 2a+4b=58 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a-2a+4b-b=58-17$$

เพิ่ม 2a ไปยัง -2a ตัดพจน์ 2a และ -2a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4b-b=58-17$$

เพิ่ม 4b ไปยัง -b

$$3b=58-17$$

เพิ่ม 58 ไปยัง -17

$$3b=41$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$b=\frac{41}{3}$$

ทดแทน \frac{41}{3} สำหรับ b ใน 2a+b=17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$2a+\frac{41}{3}=17$$

ลบ \frac{41}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=\frac{10}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=\frac{5}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$